Math
To compute the rotation automorphism homomorphically, we use the fact that $(\Z/2^n\Z)^* \simeq \span{-1, 5}$. I couldn't find a clear proof of this result online, so I just accepted the fact although it wasn't very satisfying. After more than a year, I
Math
Integration on Complex Valued Function Let $(X, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, and $E \in \mathscr{F}$. 정의. 1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable. 2. For a complex function $f$, $$f
Math
This is a list of proofs with Coq, for each rule of inference stated in List of Rules of Inference (Wikipedia) Some rules that need the law of excluded middle are at the end of the section. Rules for Negation Lemma reductio_ad_absurdum : forall P Q : Prop, (P -&
Math
Comparison with the Riemann Integral 먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을 $$\int _ {[a, b]} f \,d{m} = \int _ {[a, b]} f \,d{x} = \int _ a ^ b f \,d{x}$$ 와 같이 표기하고, 리만 적분은 $$\mathcal{R}\int _ a ^ b f\,d{x}$$ 로 표기하겠습니다. 정리.
Math
Almost Everywhere 지난 글에서 measure가 0인 집합 위에서 적분하면 결과가 0이 됨을 확인했습니다. 적분 입장에서 보면 measure가 0인 곳에서의 적분은 의미가 없다고 생각할 수 있겠죠? 그러면 앞으로 그런걸 무시해도 된다고 하면 어떨까요? 정의. (Almost Everywhere) $P = P(x)$ 가 어떤 성질이라 하자.[1] 만약 measure가 0인 집합 $N$이 존재하여
Math
르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다. Monotone Convergence Theorem 먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f _ n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다. 정리. (단조 수렴 정리) $f _ n: X \rightarrow[
Math
Lebesgue Integration 르벡 적분을 단계적으로 정의하려고 합니다. $X = (X, \mathscr{F}, \mu)$ 라고 계속 가정합니다. $\mathscr{F}$는 $\sigma$-algebra on $X$, $\mu$는 $\mathscr{F}$의 measure 입니다. $E \in \mathscr{F}$ 일 때, 적분을 정의하기 위해 $$\mathscr{F} _ E = \lbrace A \cap E : A \in \mathscr{F}\rbrace,
Math
Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. $$\int _ X f \,d{\mu}$$ 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 $X$, measure $\mu$, 그리고 함수 $f$입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다! Measurable Function
Math
Remarks on Construction of Measure Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다. 명제. $A$가 열린집합이면 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 또한 $A ^ C \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이므로, $F$가 닫힌집합이면 $F \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 증명. 중심이 $x\in \mathbb{R} ^ p$ 이고 반지름이 $r$인
Math
이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R} ^ p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다. Elementary Sets 정의.
Math
Math
과외돌이 수업을 위해 새로운 교재를 골라야 했다. 교재를 고민하던 도중 내가 생각하는 수학 공부 방법을 설명하기에 매우 좋은 예시가 생겨서 이렇게 글로 남기게 되었다. 교재를 고민하면서 동생에게 블랙라벨 수학(상) 책이 있냐고 물어봤는데, 이미 버린 것 같다고 했다. 그러면서 나보고 현우진 뉴런 책에 있는 내용을 한 번 봤으면 좋겠다고 했다.