Math
Matrix Multiplication as $(1, 1)$-Tensors
The deep reason behind the strange definition of matrix multiplication
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Group Structure of $(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})^\ast$
Why CKKS rotations use automorphisms $x \mapsto x^{-1}$ and $x \mapsto x^{5^k}$
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09. $\mathcal{L}^p$ Functions
$\mathcal{L}^p$ functions and their properties
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Rules of Inference with Coq
List of proofs with Coq for each rule of inference stated in Wikipedia
Math
08. Comparison with the Riemann Integral
Lebesgue vs Riemann integral
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07. Dominated Convergence Theorem
Almost Everywhere 지난 글에서 measure가 0인 집합 위에서 적분하면 결과가 0이 됨을 확인했습니다. 적분 입장에서 보면 measure가 0인 곳에서의 적분은 의미가 없다고 생각할 수 있겠죠? 그러면 앞으로 그런걸 무시해도 된다고 하면 어떨까요? 정의. (Almost Everywhere) $P = P(x)$ 가 어떤 성질이라 하자.[1] 만약 measure가 0인 집합 $N$이 존재하여
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06. Convergence Theorems
르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다. Monotone Convergence Theorem 먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f _ n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다. 정리. (단조 수렴 정리) $f _ n: X \rightarrow[
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05. Lebesgue Integration
Lebesgue Integration 르벡 적분을 단계적으로 정의하려고 합니다. $X = (X, \mathscr{F}, \mu)$ 라고 계속 가정합니다. $\mathscr{F}$는 $\sigma$-algebra on $X$, $\mu$는 $\mathscr{F}$의 measure 입니다. $E \in \mathscr{F}$ 일 때, 적분을 정의하기 위해 $$\mathscr{F} _ E = \lbrace A \cap E : A \in \mathscr{F}\rbrace,
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04. Measurable Functions
Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. $$\int _ X f \,d{\mu}$$ 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 $X$, measure $\mu$, 그리고 함수 $f$입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다! Measurable Function
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03. Measure Spaces
Remarks on Construction of Measure Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다. 명제. $A$가 열린집합이면 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 또한 $A ^ C \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이므로, $F$가 닫힌집합이면 $F \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 증명. 중심이 $x\in \mathbb{R} ^ p$ 이고 반지름이 $r$인
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02. Construction of Measure
이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R} ^ p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다. Elementary Sets 정의.
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01. Algebra of Sets
$\sigma$-algebras and set functions